Métropole, juin 2024

Partie A - Étude de la fonction \(f\)
La fonction \(f\) est définie sur l'intervalle  \(]0~; +\infty[\) par  \(f (x) = x -2+ \dfrac12 \ln(x)\) , où  \(\ln\) désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(]0~; +\infty[\) , on note \(f'\) sa dérivée et  \(f''\) sa dérivée seconde.

1. a. Déterminer, en justifiant, les limites de \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\) .
    b. Montrer que, pour tout \(x\) appartenant à \(]0~; +\infty[\) , on a   \(f'(x) = \dfrac{2x +1}{2x}\) .
    c. Étudier le sens de variation de \(f\)  sur \(]0~; +\infty[\) .
    d. Étudier la convexité de \(f\)  sur \(]0~; +\infty[\) .

2. a. Montrer que l'équation \(f (x) = 0\) admet dans \(]0~; +\infty[\) une solution unique qu'on notera  \(\alpha\) et justifier que  \(\alpha\) appartient à l'intervalle \([1~;~2]\) .
    b. Déterminer le signe de \(f (x)\) pour  \(x\in\, ]0~; +\infty[\) .
    c. Montrer que \(\ln(\alpha) = 2(2-\alpha)\) .

Partie B - Étude de la fonction \(g\)

La fonction \(g\) est définie sur \(]0~;~1]\) par \(g(x) = -\dfrac78 x^2 + x - \dfrac14x^2 \ln(x)\) .
On admet que la fonction \(g\) est dérivable sur \(]0~;~1]\) et on note \(g'\) sa fonction dérivée.

1. Calculer \(g'(x)\) pour \(x \in\, ]0~;~1]\) puis vérifier que \(g'(x) = x f\left(\dfrac1x\right)\) .

2. a. Justifier que, pour  \(x\)  appartenant à l'intervalle \(\left]0~;~\dfrac1\alpha\right[\) , on a \(f\left(\dfrac1x\right)>0\) .
  b. On admet le tableau de signes suivant.
\(\begin{array}{|c|lcccr|}\hline{}x & 0 & & \frac1\alpha & & 1 \\\hline\text{Signe de }f\left(\frac1x\right) & \Bigg\Vert & + & 0 & - & \\\hline\end{array}\)

En déduire le tableau de variations de  \(g\) sur l’intervalle \(]0~;~1]\) . Les images et les limites ne sont pas demandées.

  Partie C - Un calcul d'aire

On a représenté sur le graphique ci-dessous.

On souhaite calculer l’aire \(\mathscr A\) du domaine en bleu compris entre les courbes   \(\mathscr C_g\)   et   \(\mathscr P\) , et les droites d'équations \(x = \dfrac1\alpha\) et \(x = 1\) . On rappelle que \(\ln(\alpha) = 2(2-\alpha)\) .
1. a. Justifier la position relative des courbes  \(\mathscr C_g\)   et   \(\mathscr P\)   sur l’intervalle   \(]0~;~1]\) .
    b. Démontrer l’égalité \(\displaystyle \int_{\frac1\alpha}^1 x^2\ln(x) \text d x = \dfrac{-\alpha^3-6\alpha+13}{9\alpha^3}\) .

2. En déduire l’expression en fonction de \(\alpha\) de l’aire \(\mathscr A\) .