Métropole, juin 2024

Partie A - Étude de la fonction $f$
La fonction $f$ est définie sur l'intervalle  $]0;+\mathrm{\infty }[$ par  $f(x)=x-2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln (x)$ , où  $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ , on note $f^{\prime }$ sa dérivée et  $f^{″}$ sa dérivée seconde.

1. a. Déterminer, en justifiant, les limites de $f$ en $0$ et en $+\mathrm{\infty }$ .
    b. Montrer que, pour tout $x$ appartenant à $]0;+\mathrm{\infty }[$ , on a   $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2x+1}{2x}}$ .
    c. Étudier le sens de variation de $f$  sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ .
    d. Étudier la convexité de $f$  sur $]0;+\mathrm{\infty }[$ .

2. a. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet dans $]0;+\mathrm{\infty }[$ une solution unique qu'on notera  $\alpha$ et justifier que  $\alpha$ appartient à l'intervalle $[1;2]$ .
    b. Déterminer le signe de $f(x)$ pour  $x\in ]0;+\mathrm{\infty }[$ .
    c. Montrer que $\ln (\alpha )=2(2-\alpha )$ .

Partie B - Étude de la fonction $g$

La fonction $g$ est définie sur $]0;1]$ par $g(x)=-{\displaystyle \frac{7}{8}}{x}^2+x-{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2\ln (x)$ .
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur $]0;1]$ et on note $g^{\prime }$ sa fonction dérivée.

1. Calculer $g^{\prime }(x)$ pour $x\in ]0;1]$ puis vérifier que $g^{\prime }(x)=xf\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ .

2. a. Justifier que, pour  $x$  appartenant à l'intervalle $]0;{\displaystyle \frac{1}{\alpha }}[$ , on a $f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)>0$ .
  b. On admet le tableau de signes suivant.
$\begin{array}{|clcccr|}\hline x& 0& & \frac{1}{\alpha }& & 1\\ \text{Signe de }f\left(\frac{1}{x}\right)& \Vert & +& 0& -& \\ \hline\end{array}$

En déduire le tableau de variations de  $g$ sur l’intervalle $]0;1]$ . Les images et les limites ne sont pas demandées.

  Partie C - Un calcul d'aire

On a représenté sur le graphique ci-dessous.

On souhaite calculer l’aire $\mathcal{A}$ du domaine en bleu compris entre les courbes   ${\mathcal{C}}_g$   et   $\mathcal{P}$ , et les droites d'équations $x={\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$ et $x=1$ . On rappelle que $\ln (\alpha )=2(2-\alpha )$ .
1. a. Justifier la position relative des courbes  ${\mathcal{C}}_g$   et   $\mathcal{P}$   sur l’intervalle   $]0;1]$ .
    b. Démontrer l’égalité ${\displaystyle {\int }_{\frac{1}{\alpha }}^1{x}^2\ln (x)\text{d}x={\displaystyle \frac{-{\alpha }^3-6\alpha +13}{9{\alpha }^3}}}$ .

2. En déduire l’expression en fonction de $\alpha$ de l’aire $\mathcal{A}$ .